Die Gefangenen von Zyklonien
Wie entkommt man mittels Mathematik aus einem Gefängnis?
Im fernen Zyklonien steht ein Gefängnis, in dem 100 Gefangene einsitzen. Wie alle Häftlinge möchten sie natürlich gerne in die Freiheit zurück und der Gefängnisdirektor gibt vor, ihnen allen jeden Tag eine Chance auf Entlassung zu bieten. Die Insassen nehmen das Angebot an, was bleibt ihnen auch anderes übrig, und bekommen folgende Aufgabe gestellt:
Jeder Gefangene sitzt in einer eigenen Zelle, die von 1 bis 100 durchnummeriert sind. Jeden Tag einmal lässt der Direktor die Gefangenen nacheinander einzeln aus ihrer jeweiligen Zelle holen und in einen separaten Raum führen, in dem 100 geschlossene Schachteln stehen. In jeder Schachtel liegt ein Zettel mit einer Nummer zwischen 1 und 100, es kommen alle Nummern zwischen 1 und 100 vor; die Verteilung der Zettel ist zufällig. Die nummerierten Zettel in den Schachteln werden jeden Tag neu gemischt.
Jeder Gefangene muss nun nach eigener Wahl die Hälfte, also 50 der 100 Schachteln öffnen und schauen, ob seine Zellennummer in einer der 50 Schachteln vorkommt. Dann werden die Schachteln wieder verschlossen und der nächste Gefangene muss nun seinerseits das gleiche tun. Wenn jeder der 100 Häftlinge seine eigene Zellennummer in einer der von ihm geöffneten 50 Schachteln findet, dann werden alle 100 Häftlinge freigelassen, sonst nicht.
Die Häftlinge dürfen sich während der Prozedur nicht sehen und nicht miteinander sprechen; allerdings ist es erlaubt, dass sie vorher gemeinsam eine Strategie besprechen, mit der sie glauben, schon bald die Freiheit zu erlangen.
Kannst Du den Häftlingen helfen? Was müssen sie tun, um schon nach wenigen Tagen entlassen zu werden?
Die Lösung dieses Rätsels ist nicht ganz einfach; zunächst erscheint die Auswahl der 50 Schachteln völlig willkürlich und die Wahrscheinlichkei,t beim planlosen Öffnen der 50 Schachteln seine eigene Nummer zu finden, ist 1/2. Für alle 100 Gefangenen ergibt sich als Wahrscheinlichkeit (1/2)^100 dafür, dass alle ihre Nummer finden, da die Versuche voneinander unabhängig sind. (1/2)^100 ist herzlich wenig, nämlich 7,9 * 10^-31, also 0,0 ... 079 mit 30 Nullen zwischen dem Komma und der 7. Die Wahrscheinlichkeit, im Lotto zu gewinnen ist bekanntlich 7,1 * 10^-8, also 0,000000071. Ziemlich schlechte Karten für die Häftlinge, auf diese Weise könnten sie bis zum Sankt Nimmerleinstag Schachteln öffnen ...
So geht's also nicht.
Als ersten noch nicht verdeckten Tipp zur Lösung dieses Rätsels bemühen wir den Anstaltspfarrer in Zyklonien. Die Gefangenen, die mittlerweile eine Strategie zu ihrer Befreiung entwickelt haben, erzielen keinen Erfolg und argwöhnen, dass bei der Verteilung der Zettel in den Kästen nicht alles mit rechten Dingen zugeht. Sie erwirken beim Gefängnisdirektor folgende Unterstützung: Der Anstaltspfarrer darf am nächsten Tag alle Schachteln öffnen und den Inhalt zweier Schachteln vertauschen (ohne dass die Gefangenen erführen, welche er vertauscht hat, der Pfarrer darf danach nicht mehr mit den Gefangenen sprechen) und siehe da, die Gefangenen sind am nächsten Tag frei!
Wie ist das möglich? Ich befürchte, dieser Tipp trägt eher zu Verwirrung denn zur Klärung dieses Rätsels bei!?
Wer Hinweise möchte, erhält beim Mouseover einen Tooltip auf Deutsch, auf Deutsch: eine deutsche Hilfestellung ausgelöst durch den Mauszeiger.
Alle Hinweise beziehen sich auf die ursprüngliche Aufgabe ohne Anstaltspfarrer.
Auch Akademiker sitzen schon mal im Gefängnis. Hinweis 1
Schon gut, schon gut, das hattet Ihr Euch auch schon gedacht, ist mir klar.
Alte Schachteln. Hinweis 2
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist aber keine Voraussetzung zur Lösung der Aufgabe.
Neue Schachteln. Hinweis 3
Der Anstaltsleiter gewährt die Bitte der Gefangenen (in kleinen Dingen war er immer großzügig).
Das Genie beherrscht das Chaos. Hinweis 4
Das Überwinden der Gedankenbarriere ist die entscheidende Stelle beim Lösen jeder Denksportaufgabe.
Die informierte Gesellschaft. Hinweis 5
Um eine höhere Wahrscheinlichkeit zum Auffinden der eigenen Zellennummer zu erreichen, hilft es den Insassen, die zur Verfügung stehenden Informationen (besser bzw. überhaupt) zu nutzen.
Im Dunkeln ist Tasten keine Schande. Hinweis 6
Für alle, die bis jetzt noch keine Idee haben, ein letzter sehr weitgehender Tipp, der bereits den Anfang der Befreiungsstrategie darstellt.
Die halbe Wahrheit. Hinweis 7
Wer's noch nicht raus hat, hier ist die Lösung.